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中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和类似,全等是一种特别的类似. 本章将在前面对全等形研究的基本上,自创全等三角形研究的根本套路对类似图形停止研究.本章研究的重要成绩是类似图形的定义、性质和剖断办法,研究的重要载体是三角形.另外,教科书在前面的章节中简介了平移、轴对称和改变三种图形的全等变换,本章将简介一种新的图形变换——位似.为了进一步培养先生的推实际证才能,本章对很多新结论停止了证明,证明的思路各具特点.全章包含三个末节和两个选学内容,教授教化时间大年夜约须要14课时,详细安排以下(仅供参考):

27图形的类似                                         2课时

27类似三角形                                         7课时

27位似                                               3课时

数学活动

小结                                                     2课时

一、教科书内容和本章进修目标

1.本章知识构造

本章知识构造以下图所示:

2.教科书内容

在“全等三角形”一章中,先生进修了外形和大年夜小完全雷同的两个三角形的性质和剖断办法.本章以此为基本,按照研究对象的“普通→特别→特别地位关系”的次序展开研究.起首,教科书从实际世界中外形雷同的物体谈起,然后把研究对象肯定为外形雷同的图形——类似图形,举例说清楚明了缩小年夜、减少两种操作与类似图形之间的关系.接着教科书把研究对象减少为特别的类似图形——类似多边形,由类似多边形的定义推出了类似多边形的性质.关于类似多边形的剖断,教科书以三角形为载体停止研究,另外,还研究了类似三角形的其他性质和应用.最后,教科书研究了一种具有特别地位关系的类似图形——位似图形.本章的知识不只将在前面进修“锐角三角函数”和“投影与视图”时取得应用,并且关于修建设计、丈量、画图等实际任务也具有重要价值.

本章共有三节内容.第1节“图形的类似”重要简介类似图形、类似多边形的概念,并给出了类似多边形的性质;第2节“类似三角形”重要研究类似三角形的剖断和性质,和类似三角形在丈量中的应用;第3节“位似”研究了一种特别的类似图形——位似图形的画法,和如安在平面直角坐标系中用坐标表示位似变换.

在“271图形的类似”中,教科书起首罗列了生活中具有外形雷同笼统的物体(汽车与它的模型、大年夜小不合的足球、不合尺寸的照片、不合字号的印刷字),接着把外形雷同的图形定义为类似图形,然后指出缩小年夜和减少这两种操作与类似图形之间的关系.接上去,教科书给出了特别的类似图形——类似多边形的定义,并由定义取得了剖断两个边数雷同的多边形是类似多边形的办法,和类似多边形对应角相等、对应边成比例的性质.

教科书接上去在“272 类似三角形”中进一步深刻研究了类似三角形,分为类似三角形的剖断、性质及应用三部分.在“2721 类似三角形的剖断”中,教科书柬介了五种剖断办法.个中,为了取得第一种剖断办法“平行于三角形一边的直线和其他两边订交,所构成的三角形与原三角形类似”,教科书先在商量的基本上简介了平行线分线段成比例定理,然后将这个定理应用到三角形上取得了一个推论,最后应用这个推论并经过过程在三角形中平移线段证清楚明了两个三角形类似.接上去的三种剖断办法(“三边”“两边及其夹角”“两角”)都是应用第一种剖断办法,并构造全等三角形证明的.最后,教科书应用勾股定理证清楚明了剖断两个直角三角形类似的办法.

在“2722 类似三角形的性质”中,教科书起首证清楚明了类似三角形对应高的比等于类似比,然后由类似三角形对应中线的比与对应角等分线的比都等于类似比,推行到更普通的结论——类似三角形对应线段的比等于类似比.接着,教科书推出了类似三角形的面积比与类似比之间的关系.类似三角形的剖断和性质在实际生活中应用很多,教科书接上去在“2723 类似三角形应用举例”中安排了3个例题(丈量金字塔高度、丈量河宽、丈量特别条件下的间隔),举例说清楚明了类似三角形在丈量方面的应用.

在本章的最后一节,位似图形作为一种特别的类似图形被引入.教科书起首指出平常生活中存在与原图形类似且与原图形的对应顶点的连线交于一点的图形(幻灯机、拍照机成像),接着给出了位似图形的概念.然后从定义出发,取得了画一个多边形的给定位似比的位似图形的办法.接上去,与用变换前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示平移、轴对称和改变类似,教科书研究了用坐标之间的关系表示位似变换的办法.最后教科书柬单对先生学过的四种变换停止了总结,让先生在一个设计图案中辨析这些变换.

在本章中,类似三角形的剖断和性质是本章的重点内容,类似三角形剖断定理的证明是本章的难点内容.另外,综合应用类似三角形的剖断和性质,和先生前面学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识处理成绩(包含实际成绩)也是本章的一个难点.为了降低先生在推实际证方面的难度,本章加强了证明思路的引导,或许用分析法分析出由条件到结论必须的转化,或许提示了证明的关键环节;为了降低先生在处理实际成绩中的难度,本章专门设置了一个末节“2723 类似三角形应用举例”,从不合角度为处理实际成绩做出示范.

3.本章进修目标

1)经过过程详细实例熟悉图形的类似,懂得类似多边形和类似比的含义.

2)控制根本领实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

3)懂得类似三角形的剖断定理:两角分别相等的两个三角形类似;两边成比例且夹角相等的两个三角形类似;三边成比例的两个三角形类似.

4*懂得类似三角形剖断定理的证明.

5)懂得类似三角形的性质定理:类似三角形对应线段的比等于类似比;面积比等于类似比的平方

6)懂得图形的位似,知道应用位似可以将一个图形缩小年夜或减少.

7)会应用图形的类似处理一些简单的实际成绩.

2、编写时推敲的几个成绩

1.留意渗透渗出研究几何图形的根本套路,表现公理化思维

本套教科书关于几何内容的编写自始至终留意渗透渗出研究几何图形的根本成绩和办法,表现了公理化的思维.如在七年级下册“订交线与平行线”一章中,教科书柬介了图形的剖断和图形的性质的含义及相互关系,让先生熟悉到它们是研究几何图形的两个重要方面;关于三角形、全等三角形、平行四边形等几何图形,教科书都重点研究了它们的定义、性质和剖断办法.本章对类似图形的研究依然以公理化思维为指导,留意渗透渗出研究几何图形的根本套路,详细表示为以下几个方面:起首,本章按照“类似形的实际模型→类似图形→类似多边形→类似三角形→位似图形”的从普通到特别的次序来出现研究对象,展开研究.个中,三角形作为最简单而典范的封闭图形被作为载体来研究类似图形的根本内容——定义、性质和剖断办法.其次,上一版教科书是按照“剖断→应用→周长与面积”的次序出现类似三角形的内容的,本次修订后,教科书先简介类似三角形的剖断办法,接着给出类似三角形的性质,最后在“类似三角形应用举例”中应用剖断办法和性质.如许的编排使研究几何图形的“剖断→性质→应用”的主线更清楚,凹陷了研究的重要成绩.再次,为了研究类似多边形对应角相等、对应边成比例的性质,教科书改变了上一版教科书顺次对类似正三角形、正六边形和普通的类似三角形、四边形停止不雅察、度量,猜想对应角、对应边的关系,然后从特别到普通归结结论的方法,直接给出了类似多边形的定义,并由定义直接取得了类似多边形对应角相等、对应边成比例的性质.如许做使图形性质的取得更直接,也符合九年级先生的认知程度.最后,在第2722末节研究类似三角形的性质之前,教科书先提出成绩“三角形中有各类各样的几何量,例如三条边的长度,三个内角的度数,高、中线、角等分线的长度,和周长、面积等.假设两个三角形类似,那么它们的这些几何量之间有甚么关系呢?”,如许的成绩实际上是让先生在“甚么是性质”的思维的指导下本身发明类似三角形的性质要研究的内容,改变了以往教授教化中“给一条性质,证明一条性质”的做法.

2.看重培养先生的推实际证才能

按照整套教科书对推理才能培养的墨守成规的目标,“类似”处于最后一章,所包含的成绩的综合性最强、证明的难度最高.教科书一方面持续应用直不雅操作和逻辑推理相结合的方法研究几何图形,让先生经历实验→猜想→证明的过程,即先让先生在实验操作中感触感染几何命题的公道性,再在分析、思虑的基本上提出猜想,最后经过过程证明白认几何命题的公道性.如许的过程有益于进步先生自力发明成绩、处理成绩的才能.另外一方面,教科书加强了证明思路的引导,让先生在懂得、感悟、实际证明思路的基本上进步推实际证才能.例如,在用平行线分线段成比例定理的推论证明定理“平行于三角形一边的直线和其他两边订交,所构成的三角形与原三角形类似”时,教科书引导先生思虑处理成绩的关键是证明“”,而“除DE外,AEACBC都在ABC的边上”,由此就取得了经过过程作平行线将DE也平移到ABC的边上的证明思路.又如,在证明“三边成比例的两个三角形类似”的过程当中,教科书提炼出了作一个“中介三角形”使之与要证的三角形类似,再应用已证定理和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等的思路,应用这个思路,让先生本身证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形类似”和“两角分别相等的两个三角形类似”.

3.加强知识间的接洽

类似图形与全等图形之间是一种普通与特别的关系,教科书在编排类似内容时将其算作全等外容的拓展与延长,并应用类比来展示二者的关系.例如,章引言类比“全等三角形”一章研究的重要内容,提出本章要研究的重要成绩——“在‘全等三角形’”一章中,我们研究了外形和大年夜小完全雷同的两个三角形的性质和剖断办法.类似地,两个外形雷同、大年夜小不合的三角形,它们的边和角有甚么关系?……”.又如,类比存在剖断两个三角形全等的简便办法,教科书提出成绩“剖断两个三角形类似时,是否是也存在简便的剖断办法呢”,接着类比剖断三角形全等的SSSSASHL办法,让先生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边的角度来寻求答案.在章小结中,教科书对这类研究思路停止了总结“全等形是类似比为1的类似图形,是以全等是特别的类似.应用从特别推行到普通的办法,由研究全等三角形的思路,可以提出类似三角形的成绩和研究办法.”

另外,教科书以等分线分线段成比例定理为终点来证明类似三角形的剖断定理,就是应用了这必定理与类似三角形定义中边对应成比例之间的联系.将等分线分线段成比例定理应用到三角形中,就取得了推论“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例”,从而便可以进一步证明“平行于三角形一边的直线和其他两边订交,所构成的三角形与原三角形类似”了,而这个定理可以作为证明其他剖断定理的引理.

4.留意接洽实际

类似是生活中罕见的景象,平常生活中到处存在着类似的例子,类似图形的性质在实际中有着广泛的应用,能直策应用类似三角形剖断和性质的实例也很多.为了让先生熟悉到这一点,并加强先生发明成绩、处理成绩的才能,教科书在编写过程当中结合详细内容融入了大年夜量实际背景和成绩.如在概念的引入环节,为了让先生建立起对类似图形的直不雅熟悉,教科书不只在章头图出现了两张不合尺寸同底版的万里长城照片,还在第271节给出了汽车和它的模型、大年夜小不合的足球等笼统,并经过过程放映片子、复印机复印等实例让先生感触感染类似图形与缩小年夜、减少两种操作的关系;在概念的应用环节,教科书在“2723 类似三角形应用举例”中专门安排了类似三角形应用的内容,给出了一些应用类似三角形的性质和剖断办法处理生活中不克不及直接丈量的物体长度的成绩,在演习、习题中也编排了应用类似三角形知识的实例.

3、对教授教化的几个建议

1.在几何教授教化中保持渗透渗出研究几何图形的根本套路

先生经过过程前面对平行线、三角形、全等三角形、平行四边形等几何图形的进修,关于研究几何图形的根本成绩、思路和办法曾经构成了必定的熟悉.本章教授教化中要充分应用先生已有的研究几何图形的经历,用研究几何图形的根本套路贯穿全章的教授教化.例如,在传授本章之前,可让先生类比对全等三角形研究的重要内容,提出对外形雷同、大年夜小不合的三角形应研究的重要成绩和研究办法,构建本章内容的根本线索,使他们对将进修的内容做到心中稀有.又如,之前对图形性质的教授教化普通是教员先给出性质,然后引导先生证明,而经过过程前面对几何图形的进修,先生曾经懂得了性质要研究的是几何图形的根本量之间的关系,是以本章在教授教化类似三角形的性质之前,可以先让先生本身发明性质,再给出证明.

2.进一步培养先生的推实际证才能

本章的证明所触及的成绩不只包含类似的知识,也有很多是和三角形、全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一路的,例如类似三角形剖断定理的证明中应用了全等三角形作为“桥梁”,性质的证明借助了代数运算,是以推实际证的难度进步了.教授教化时应留意赞助先生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合;也要留意以详细成绩为载体,加强证明思路的引导,赞助先生肯定证明的关键环节,指导先生写出完全的证明过程.同时留意根据教授教化内容及时安排照应的练习,让先生可以或许渐渐达到自力分析、完成证明.

3.留意掌握好教授教化请求 

与《全日制义务教导数学课程标准(实验稿)》比拟,《义务教导数学课程标准(2011)》凹陷了以三角形为载体的对类似图形的剖断和性质的研究,进修请求也由“摸索”变成了“证明”.是以教授教化中应当留意掌握好不合内容的教授教化请求,凹陷本章的重点内容.例如,本章中比例和成比例线段的相干内容是为类似多边形的定义办事的,教授教化中只需在小学数学的基本上给出线段成比例的概念,让先生懂得它的根本含义便可.又如,虽然平行线分线段成比例定理是研究类似三角形剖断的根本实际,但教授教化中不该过量触及这个定理的应用,而是重要由它来推出剖断类似三角形的第一种剖断办法.而关于本章的重点内容,则不该该满足于“摸索”,应当让先生证明类似三角形的性质定理,让学缺乏力的先生证明类似三角形的剖断定理.

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